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正文 第734章 无中生有(第2页/共2页)



    阿基里斯望着这片自己创造的纯白无暇的世界,有些不太自信地问道:

    “我怎么觉得……这种创造世界的方法一点都不唯物呢?”

    这也太唯心了吧,简直就像是宗教神话一样。

    “的确如此。”

    李恒赞同地说道:

    “一开始我以为自己的力量来自于信息场,我使用的力量类似于真空零点能,这个超级信息网络就像是量子比特海洋的升级版。”

    “后来我才发现,这种无中生有的力量是我的身体所自带的。”

    “这种力量来自于我身体内容纳的公理规则,以这些公理为基础诞生的庞大世界反而是细枝末节。”

    “总之,这些公理的力量就像是普通人面对着永恒暴胀一样,我们能做的只是习惯它们的存在。”

    好吧,那就先用着再说。

    阿基里斯也不寻根究底。

    原始人不明白自己大脑中的亿万细胞是如何能够正常运转的,但这并不妨碍它们用这颗大脑的力量去打猎和寻找食物。

    “但是,以上这种方法只是在自然数集合范围内的定义。”

    “我们现在不仅要从空集开始定义自然数、有理数、实数,还要用它定义包括无限大数和无限小数在内的超实数。”

    “想要定义如此繁杂丰富,数量比?1还要多得多的数,仅仅使用这种旧的公理规则是不够的。”

    “发现了吗,我们的研究直接从实数跳到了超实数,却没有去谈论虚数和复数。”

    “这是因为复数域不是有序域。”

    复数,四元数,这些数都是对实数的扩充。

    但这些数与实数有本质区别,它们不能比较大小。

    联系几何的概念,复数是存在与复平面上的数。

    四元数又被称为超复数,是存在于空间中的数。

    平面和空间的情况显然与直线不同,代表着点的数与数之间没有单纯的“左”和“右”的关系。

    因此这些数也不能像是分布在数轴上的数那样,进行大小比较。

    类似于有理数域、实数域和超实数域这样可以比较大小的数域,就称作有序域。

    这种有序性显然与数在数轴上分布的左右关系是一样的。

    “有序性,是戴德金分割?”

    阿基里斯反应了过来。

    数轴上分布的数具备有序性,彼此之间可以比较大小。

    因此就可以使用分割数轴的方式,用两个左右互斥的集合来准确定义一个数。

    这种定义方式与生成自然数的规则是不同的,它一开始就至少要用到两个集合。

    在旧的规则中,定义自然数最初的0却仅仅只需要用到一个空集。

    从最初诞生的基础规则开始就不同,用这种全新的方式定义的数恐怕与普通的数也完全不是一回事。

    “没错,用两个互斥的左集和右集来定义一个数。”

    李恒举起手中的那台二星芝诺机,将它那看不到具体大小的尖端对准白色的数轴。

    阿基里斯耳边有清脆的破裂声响起,看似无缺无漏的实数之间被破开了一道缝隙,超越实数的世界被找到了。

    纯白无暇的世界消失不见,这个隐藏在实无穷小区域中的新世界既不是虚无的黑暗,也不是不可知的混沌。

    这里是一片普通的海滩,海滩边埋着一块黑色的大石头,露出来的半截上面刻着一段像是涂鸦一样的雕文。

    “公理石碑?”

    阿基里斯微眯着眼睛看向那块黑色大石头。

    名字起的倒是高大上,但看起来就是一块黑漆漆的大石头,跟石碑这个词完全搭不上边。

    『初,万物混沌苍茫,尔后康威始创诸数。』

    『创生二道,大小诸数盖由此出。

    其一曰:凡数,皆合于前创二数之集,其位左者,无一大于或等于其位右者。

    其二曰:甲数小于或等于乙数,当且仅当甲数之左集中无一大于或等于乙数,且乙数之右集中无一小于或等于甲数。』

    『康威检视二道,连呼妙哉!此二道真妙绝!』

    这两条规则并不难理解,第一条规则就是描述了数轴的有序性。

    第二条规则就是戴德金分割的基本思想,用数轴上左右互斥的两个集合和来定义一个数。

    每一个数本质上都是一对数集,并且这些数集中的每一个数本身也是一对数集。

    “康威?”

    阿基里斯低声念着这个名字。

    两人之前在讨论大数的时候提到过这个名字,用于表示大数的高德纳箭头和康威链式箭号。

    这人应该就是那个康威。

    她继续向下看去。

    『元初之数,左右皆空,康威名之曰“零”,命其为正负两界分野之符。』

    『康威证得零小于或等于零,此间妙也。夜去昼来,是为零日。』

    『次日又得二数,其一以零为左集,其一以零为右集,前者曰“一”,后者曰“负一”…』

    这就是用前面提到的两条规则来定义数了。

    知道了戴德金分割的基本思想,这种全新的规则阿基里斯看过一遍就明白了。

    每一个数本质上都是一对数集。

    但最初没有任何的数,唯一存在的东西就是虚无,也就是空集。

    所以最初的数左右两侧都是空集,这个数就是0。

    写成符号形式就是,0=(?丨?)。

    左右皆空,空集不包含任何元素,空集与空集之间自然也就没有交集。

    并且,因为不包含任何元素,所以空集是任意一个集合的子集。

    这就意味着空集可以被随意地放在左侧或者右侧。

    无论另一边的集合中是包含一个还是无穷多个元素,空集都一定满足这两条规则。

    空集的这种性质还真是好用,集合论里的空集果然和哲学意义上一切皆无的概念完全不一样。

    1=({0}丨?)

    2=({0,1}丨?)

    -1=(?丨{0})

    -2=(?丨{-1,0})

    以此类推,便可创造出一切整数。

    “不,或许这些符号还可以更简单一些。”

    阿基里斯突然又摇了摇头。

    比较数轴上左右两个互斥集合,不需要比较集合中的每一个元素,只需要比较左集中的最大元素和右集中的最小元素。

    这样的话,2=({0,1}丨?)也可以写成2=({1}丨?)。

    每一个新的数都在旧数的边界之处创造。
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